Lineare DGLs erster Ordnung

Nicht jede lineare DGL hat konstante Koeffizienten wie in Woche 11. Bei Gleichungen der Form $y' + g(x)\, y = f(x)$ hilft ein festes Rezept: der integrierende Faktor (integrating factor). Damit kann man viele DGL erster Ordnung lösen.

Problemstellung#

Löse die Differentialgleichung $y' + y = x.$

Gesucht ist die allgemeine Lösung $y = y(x)$.

Lösungsansatz#

Bringe die Gleichung zuerst auf die Normalform $y' + g(x)\, y = f(x)$ mit stetigen Funktionen $g$ und $f$. Danach arbeitest du immer dieselben vier Schritte ab:

Warum Schritt 2 funktioniert: nach der Produktregel ist $\frac{d}{dx}\!\left(e^{G} y\right) = e^{G} y' + e^{G} G' y = e^{G}\,(y' + g y),$ weil $G' = g$. Multiplikation mit $e^{G}$ macht die linke Seite also zu einer einzigen Ableitung.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Unsere Gleichung steht schon in Normalform mit $g(x) = 1$ und $f(x) = x$.

Schritt 1: Wir berechnen $G(x) = \int\limits 1\, dx = x.$

Schritt 2: Multiplikation mit $e^{G(x)} = e^{x}$ liefert $e^{x} y' + e^{x} y = x e^{x}.$ Die linke Seite erkennen wir als Ableitung: $\frac{d}{dx}\!\left(e^{x} y\right) = x e^{x}.$

Schritt 3: Integration beider Seiten. Rechts brauchen wir partielle Integration mit $u = x$, $dv = e^{x}\, dx$: $\int\limits x e^{x}\, dx = x e^{x} - \int\limits e^{x}\, dx = x e^{x} - e^{x} + C.$ Also $e^{x} y = e^{x}(x - 1) + C.$

Schritt 4: Multiplikation mit $e^{-G(x)} = e^{-x}$ ergibt die allgemeine Lösung $y(x) = x - 1 + C e^{-x}.$

Fazit#

Das Rezept ist kurz: $G = \int\limits g$, mit $e^{G}$ multiplizieren und die Produktregel erkennen, integrieren (plus $C$), mit $e^{-G}$ zurückmultiplizieren. Trennung der Variablen greift hier nicht, weil $x - y$ kein Produkt $g(x)\, h(y)$ ist.

Weitere Übungen#

1. Löse die Differentialgleichung $y' - 2y = e^{3x}$ mit dem integrierenden Faktor.

   Tipp anzeigen

   Hier ist $g(x) = -2$. Rechne $G(x) = \int\limits -2\, dx = -2x$ und folge den vier Schritten.
   Lösung anzeigen

   Normalform: $y' + (-2)\, y = e^{3x}$, also $g(x) = -2$ und $f(x) = e^{3x}$.

   Schritt 1: $G(x) = \int\limits -2\, dx = -2x$.

   Schritt 2: Multiplikation mit $e^{G(x)} = e^{-2x}$ liefert $e^{-2x} y' - 2 e^{-2x} y = e^{x},$ also $\frac{d}{dx}\!\left(e^{-2x} y\right) = e^{x}.$

   Schritt 3: Integration (plus $C$): $e^{-2x} y = e^{x} + C.$

   Schritt 4: Multiplikation mit $e^{2x}$: $y(x) = e^{3x} + C e^{2x}.$

2. Löse die Differentialgleichung $y' + \frac{1}{x} y = x$ für $x > 0$ mit dem integrierenden Faktor.

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   Hier ist $g(x) = \frac{1}{x}$. Für $x > 0$ gilt $G(x) = \ln x$, also $e^{G(x)} = x$.
   Lösung anzeigen

   Normalform: $y' + \frac{1}{x}\, y = x$, also $g(x) = \frac{1}{x}$ und $f(x) = x$.

   Schritt 1: $G(x) = \int\limits \frac{1}{x}\, dx = \ln x$ (für $x > 0$).

   Schritt 2: Multiplikation mit $e^{G(x)} = x$ liefert $x y' + y = x^2,$ also $\frac{d}{dx}\!\left(x y\right) = x^2.$

   Schritt 3: Integration (plus $C$): $x y = \frac{x^3}{3} + C.$

   Schritt 4: Multiplikation mit $e^{-G(x)} = \frac{1}{x}$: $y(x) = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}.$

3. Löse das Anfangswertproblem $y' + 2y = 4x$ mit $y(0) = 1$ über die vier Schritte.

   Tipp anzeigen

   Bestimme zuerst die allgemeine Lösung mit $G(x) = 2x$, danach fixiere $C$ durch $y(0) = 1$.
   Lösung anzeigen

   Normalform: $y' + 2y = 4x$, also $g(x) = 2$ und $f(x) = 4x$.

   Schritt 1: $G(x) = \int\limits 2\, dx = 2x$.

   Schritt 2: Multiplikation mit $e^{2x}$ liefert $\frac{d}{dx}\!\left(e^{2x} y\right) = 4x e^{2x}.$

   Schritt 3: Rechts partielle Integration mit $u = 4x$, $dv = e^{2x}\, dx$: $\int\limits 4x e^{2x}\, dx = 2x e^{2x} - \int\limits 2 e^{2x}\, dx = 2x e^{2x} - e^{2x} + C.$ Also $e^{2x} y = e^{2x}(2x - 1) + C.$

   Schritt 4: Multiplikation mit $e^{-2x}$: $y(x) = 2x - 1 + C e^{-2x}.$

   Anfangsbedingung $y(0) = 1$: $1 = -1 + C \implies C = 2.$

   Damit ist die Lösung $y(x) = 2x - 1 + 2 e^{-2x}.$