Folgen und Konvergenz

Jetzt geht es los mit Analysis. Bisher haben wir sozusagen nur das Vokabular gelernt (Mengen, Logik, Körperaxiome), aber jetzt schauen wir uns an, wie sich Dinge bewegen. Folgen und der Grenzwertbegriff sind das fundamentale Werkzeug, um den Begriff der Unendlichkeit greifbar zu machen. Darauf wird alles Weitere aufbauen.

Was ist eine Folge?#

Definition#

Beispiel#

Die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ sieht ausgeschrieben so aus: $1, 0.5, 0.333, 0.25, \dots$. Hier ist $\mathcal{M} = \mathbb{R}$. Das ist eine klassische reelle Folge. Es ist völlig egal, ob wir in $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^d$ oder $\mathbb{C}$ sind, das Prinzip bleibt gleich: Für jede natürliche Zahl gibt es genau einen zugeordneten Wert.

Konvergenz#

Intuition#

Das ist das wichtigste Konzept dieses Kapitels. Stell dir einen Schlauch (oder Tunnel) um einen bestimmten Wert $L$ vor. Die Dicke dieses Schlauchs ist $2\varepsilon$. Eine Folge konvergiert gegen $L$, wenn egal wie eng du diesen Schlauch machst ($\varepsilon$ klein wählst), die Folge irgendwann in diesen Schlauch hineingeht und nie wieder herauskommt. Es dürfen am Anfang ein paar Punkte wild herumspringen (sogar eine Million), aber da es unendlich viele Punkte gibt, muss der "Rest" der Ewigkeit im Schlauch bleiben.

Definition#

Beispiel#

Betrachte wieder $a_n = \frac{1}{n}$. Wir vermuten den Grenzwert $L = 0$. Sei $\varepsilon > 0$ beliebig (zum Beispiel $\varepsilon = 0.001$). Wir suchen ein $N$, ab dem der Abstand $|a_n - 0| < 0.001$ ist. Das ist äquivalent zu $\frac{1}{n} < 0.001$ oder $n > 1000$. Wir können also $N = 1001$ wählen. Allgemein wählen wir für jedes $\varepsilon$ ein $N > \frac{1}{\varepsilon}$. Damit ist die Konvergenz bewiesen.

Gegenbeispiel#

Die Folge $a_n = (-1)^n$, also $-1, 1, -1, 1, \dots$. Angenommen, sie konvergiert gegen $L = 1$. Ich wähle $\varepsilon = 0.5$. Der Schlauch geht also von $0.5$ bis $1.5$. Aber für alle ungeraden $n$ ist $a_n = -1$, was weit ausserhalb dieses Schlauchs liegt. Egal wie weit wir in der Folge gehen (wie gross wir $N$ wählen), es wird immer wieder Glieder geben, die bei $-1$ landen und damit ausserhalb des Schlauchs liegen. Die Folge divergiert.

Alternative Definition#

Im Kontext der Vorlesung habt ihr vielleicht auch die Formulierung gehört: "Die Menge der Ausreisser $M(\varepsilon) = \{n \in \mathbb{N} \mid |a_n - L| \geq \varepsilon\}$ ist endlich." Das ist exakt dasselbe. Wenn nur endlich viele Punkte draussen sind, müssen ab einem gewissen Punkt (dem Maximum dieser Ausreisser-Indizes + 1) alle im Schlauch drinnen sein.

Sandwich-Theorem (Einschnürungssatz)#

Intuition#

Stell dir vor, zwei Polizisten ($a_n$ und $b_n$) eskortieren einen Betrunkenen ($c_n$) zur Wache. Ein Polizist läuft links vom Weg ($a_n$), einer rechts ($b_n$), und der Betrunkene torkelt irgendwo dazwischen ($a_n \leq c_n \leq b_n$). Wenn beide Polizisten sich am Eingang der Wache treffen, hat der Betrunkene keine Wahl. Er muss auch durch die Tür.

Satz#

Beispiel#

Wir suchen den Grenzwert von $c_n = \frac{\sin(n)}{n}$. Wir wissen, dass der Sinus immer zwischen -1 und 1 schwankt. Also gilt: $-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n}$ Wir setzen $a_n = -\frac{1}{n}$ und $b_n = \frac{1}{n}$. Da $a_n \to 0$ und $b_n \to 0$, muss zwangsläufig auch $c_n \to 0$ gelten. Wir haben den komplizierten Sinus einfach "weggedrückt".

Gegenbeispiel#

Betrachte $a_n = 0$, $b_n = 1$ und $c_n = \frac 1 2 + \frac 1 2 (-1)^n$ (pendelt zwischen 0 und 1). Es gilt zwar $a_n \leq c_n \leq b_n$, und $a_n$ sowie $b_n$ konvergieren (gegen 0 bzw. 1). Aber da die Grenzwerte der äusseren Folgen nicht gleich sind ($0 \neq 1$), zwingen sie die mittlere Folge zu nichts. Die mittlere Folge divergiert in diesem Fall fröhlich weiter.

Übungen#

1. Verständnis: Eine Folge ist beschränkt, wenn sie nicht ins Unendliche abhaut (z.B. $|a_n| < M$).

   • (a) Ist jede konvergente Folge beschränkt?
   • (b) Ist jede beschränkte Folge konvergent?

2. Bestimme den Grenzwert von $a_n = \frac{3n^2 + 5}{2n^2 - n}$.

3. Wenn ich behaupte, $a_n \to 0$, und du findest ein einziges $\varepsilon = 0.1$, für das unendlich viele Glieder ausserhalb des Intervalls $(-0.1, 0.1)$ liegen, was hast du dann gezeigt?

4. Warum reicht es nicht aus, dass aufeinanderfolgende Glieder einer Folge immer näher zusammenrücken, um Konvergenz zu zeigen?