Majorantenkriterium

In diesem Beitrag wenden wir das Majorantenkriterium auf eine konkrete Reihe an. Oft reicht es nicht aus, nur auf den dominierenden Term zu schauen. Wir müssen die Abschätzung präzise aufbauen.

Problemstellung#

Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{3n + \sin(n)}{n^3 - n^2}$

Lösungsansatz#

Um das Majorantenkriterium anzuwenden, suchen wir eine Folge $b_n$, sodass $|a_n| \le b_n$ ab einem bestimmten Index gilt und die Summe über $b_n$ konvergiert. Der Bruch sieht kompliziert aus, aber für sehr grosse $n$ dominiert im Zähler der Term $3n$ und im Nenner der Term $n^3$. Wir erwarten ein Verhalten proportional zu $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$. Da die p-Reihe für $p=2$ konvergiert, versuchen wir, unseren Bruch nach oben durch ein Vielfaches von $\frac{1}{n^2}$ abzuschätzen. Dafür müssen wir den Zähler vergrössern und den Nenner verkleinern.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir betrachten den Betrag des allgemeinen Gliedes der Reihe für $n \ge 2$.

Schritt 1: Zähler vergrössern. Da der Sinus beschränkt ist, gilt $\sin(n) \le 1$. Somit ist $3n + \sin(n) \le 3n + 1$. Da wir $n \ge 2$ betrachten, gilt $1 \le n$ und wir können weiter abschätzen zu $3n + 1 \le 4n$. Der Zähler ist für $n \ge 2$ immer positiv.

Schritt 2: Nenner verkleinern. Damit der gesamte Bruch grösser wird, müssen wir den Nenner nach unten abschätzen. Wir suchen eine Konstante $c$, sodass $n^3 - n^2 \ge c \cdot n^3$ gilt. Das ist äquivalent zu $1 - \frac{1}{n} \ge c$. Für alle $n \ge 2$ ist $\frac{1}{n} \le \frac{1}{2}$, woraus $1 - \frac{1}{n} \ge \frac{1}{2}$ folgt. Multiplizieren wir das mit $n^3$, erhalten wir $n^3 - n^2 \ge \frac{1}{2}n^3$. Auch der Nenner ist für $n \ge 2$ positiv.

Schritt 3: Abschätzung zusammensetzen. Nun setzen wir die beiden Abschätzungen zusammen. Da Zähler und Nenner positiv sind, können wir die Betragsstriche weglassen: $\left| \frac{3n + \sin(n)}{n^3 - n^2} \right| = \frac{3n + \sin(n)}{n^3 - n^2} \le \frac{4n}{\frac{1}{2}n^3} = \frac{8}{n^2}$

Schritt 4: Konvergenz der Majorante prüfen. Die Reihe über unsere gefundene Majorante lautet: $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{8}{n^2} = 8 \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2}$ Dies ist ein Vielfaches der bekannten p-Reihe mit $p = 2$. Da $p > 1$ ist, konvergiert diese Majorante. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert somit auch unsere ursprüngliche Reihe absolut.

Fazit#

Durch das gezielte Vergrössern des Zählers und das Verkleinern des Nenners konnten wir die unübersichtliche Reihe auf ein Vielfaches der bekannten p-Reihe zurückführen. Das beweist zweifelsfrei die absolute Konvergenz.

Weitere Übungen#

1. Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^n + 3}{3^n - 1}$

Tipp anzeigen

Finde eine geometrische Reihe als Majorante, indem du die Konstanten im Zähler und Nenner passend durch Potenzen abschätzt.

Lösung anzeigen

Für den Zähler gilt $2^n + 3 \le 2^n + 3 \cdot 2^n = 4 \cdot 2^n$. Für den Nenner suchen wir eine Abschätzung nach unten. Für $n \ge 1$ gilt $3^n - 1 \ge \frac{1}{2} 3^n$, da dies äquivalent zu $1 \ge \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{1}\right)^n$ für kleine $n$ ist beziehungsweise $1 \le \frac{1}{2} 3^n$ ab $n=1$ stets erfüllt ist. Setzen wir das zusammen, erhalten wir: $$\left| \frac{2^n + 3}{3^n - 1} \right| \le \frac{4 \cdot 2^n}{\frac{1}{2} 3^n} = 8 \left(\frac{2}{3}\right)^n$$ Die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty 8 \left(\frac{2}{3}\right)^n$ ist eine geometrische Reihe mit dem Faktor $q = \frac{2}{3}$. Wegen $|q| < 1$ konvergiert diese Majorante. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch die ursprüngliche Reihe absolut.

2. Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)}{n^3}$

Tipp anzeigen

Nutze aus, dass der natürliche Logarithmus viel langsamer wächst als jede Potenzfunktion und schätze ihn nach oben ab.

Lösung anzeigen

Wir wissen, dass für alle $n \ge 1$ die strenge Ungleichung $\ln(n) < n$ gilt. Damit können wir den Bruch direkt nach oben abschätzen durch: $$\left| \frac{\ln(n)}{n^3} \right| = \frac{\ln(n)}{n^3} \le \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$$ Da alle Terme für $n \ge 1$ positiv oder null sind, reicht diese einfache Abschätzung aus. Die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ konvergiert als p-Reihe mit $p = 2 > 1$. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert folglich auch die Reihe mit dem Logarithmus.