Stetigkeit und Folgenstetigkeit

In der Analysis reicht es nicht aus, sich auf das visuelle Zeichnen eines Graphen ohne Absetzen des Stiftes zu verlassen. Wir benötigen ein rigoroses Fundament, um das Verhalten von Funktionen unter minimalen Störungen präzise zu beschreiben.

Punktweise Stetigkeit#

Intuition#

Ich erkläre mir Stetigkeit gerne mit dem Konzept des Wackelns. Wenn du den Input einer Funktion ganz leicht nach links oder rechts wackelst, darf der Output nicht unkontrolliert wegspringen. Der Output wackelt lediglich innerhalb eines vorher strikt festgelegten Toleranzbereichs mit.

Definition#

Die Definition erzwingt eine unausweichliche Garantie. Da für jede noch so kleine Output-Toleranz $\varepsilon$ ein gültiger Input-Korridor $\delta$ gefunden werden muss, wird jeder abrupte Sprung im Graphen logisch ausgeschlossen.

Beispiel#

Betrachte $f(x) = 3x$ an der Stelle $x_0 = 2$. Für ein beliebiges $\varepsilon > 0$ wählen wir unseren Korridor als $\delta = \varepsilon / 3$. Wenn nun $|x - 2| < \delta$ gilt, folgt sofort die Ungleichung $|3x - 6| = 3|x - 2| < 3\delta = \varepsilon$. Die Funktion erfüllt das Kriterium makellos und ist stetig.

Gegenbeispiel#

Die Signum-Funktion $f(x)$, die für negative Zahlen $-1$, für die Null den Wert $0$ und für positive Zahlen $1$ ausgibt, scheitert an der Stelle $x_0 = 0$. Wählen wir eine Toleranz von $\varepsilon = 0.5$, gibt es keinen noch so kleinen $\delta$-Korridor, der die Sprünge auf $1$ oder $-1$ abfangen kann, da im Output immer Abstände auftreten, die grösser als $0.5$ sind.

Folgenstetigkeit#

Intuition#

Stell dir vor, du navigierst mit einer Lupe durch unendlichen Zoom auf einen Zielpunkt zu. Wenn du eine Folge von Punkten wählst, die wie auf Trittsteinen exakt auf den Zielpunkt marschieren, müssen die zugehörigen Funktionswerte zwingend auf den Funktionswert des Zielpunkts zumarschieren.

Satz#

Diese Äquivalenz ist unvermeidlich, da jede konvergente Folge ab einem bestimmten Index vollständig in der $\delta$-Umgebung landet und somit die zugehörigen Funktionswerte für immer in der $\varepsilon$-Umgebung gefangen bleiben.

Beispiel#

Wir wollen den Grenzwert der Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ berechnen, wenn wir eine Folge von Werten $x_n = 2 + 1/n$ betrachten. Da die Wurzelfunktion stetig ist, dürfen wir den Limes direkt in die Funktion hineinziehen und erhalten sofort $\sqrt{2}$, ohne mühselige formale Abschätzungen durchführen zu müssen.

Gegenbeispiel#

Betrachte die Dirichletsche Sprungfunktion, die $1$ ausgibt, wenn der Input rational ist, und $0$, wenn er irrational ist. Nähern wir uns der Null ausschliesslich über rationale Zahlen, strebt der Output konstant gegen $1$. Nehmen wir eine Folge von irrationalen Zahlen, die gegen Null strebt, bleibt der Output konstant bei $0$. Es existiert keine konsistente Konvergenz.