Homogene lineare DGLs lösen

Statt Lösungen zu raten, verwandeln wir die homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten in ein Polynomproblem. Der Ansatz $u(t) = e^{\lambda t}$ liefert das charakteristische Polynom, und dessen Nullstellen bestimmen die Basislösungen.

Problemstellung#

Löse die homogene lineare Differentialgleichung $u'' - 2u' - 8u = 0$

Lösungsansatz#

Wir setzen $u(t) = e^{\lambda t}$ an. Ableiten ergibt $u'(t) = \lambda e^{\lambda t}$ und $u''(t) = \lambda^2 e^{\lambda t}$. Eingesetzt in die DGL und durch $e^{\lambda t} \neq 0$ geteilt, bleibt ein Polynom in $\lambda$ übrig: das charakteristische Polynom. Seine Nullstellen liefern die Basislösungen.

Zwei Spezialfälle behandeln wir danach: komplexe Nullstellen (über Euler als $\sin/\cos$) und mehrfache Nullstellen (mit einem Faktor $t$).

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir setzen $u(t) = e^{\lambda t}$ in $u'' - 2u' - 8u = 0$ ein: $\lambda^2 e^{\lambda t} - 2\lambda e^{\lambda t} - 8 e^{\lambda t} = 0$

Teilen durch $e^{\lambda t}$ liefert das charakteristische Polynom: $\lambda^2 - 2\lambda - 8 = 0$

Dieses faktorisieren wir: $(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$

Die Nullstellen sind also $\lambda = 4$ und $\lambda = -2$. Beide sind einfach und reell, daher lauten die Basislösungen $e^{4t}$ und $e^{-2t}$. Die allgemeine Lösung ist $u(t) = c_1 e^{4t} + c_2 e^{-2t}$ mit freien Konstanten $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$.

Spezialfall: komplexe Nullstellen#

Betrachte $\ddot s + 4s = 0$. Das charakteristische Polynom ist $\lambda^2 + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \pm 2i$

Formal erhalten wir $c_1 e^{2it} + c_2 e^{-2it}$. Über die Eulersche Formel $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ schreiben wir das reell um: $s(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t)$

Spezialfall: mehrfache Nullstellen#

Betrachte $y''' + y'' - y' - y = 0$. Das charakteristische Polynom ist $\lambda^3 + \lambda^2 - \lambda - 1 = 0$

Polynomdivision (oder Ausprobieren) liefert die Faktorisierung $(\lambda + 1)^2(\lambda - 1) = 0$

Die Nullstellen sind also $\lambda = 1$ (einfach) und $\lambda = -1$ (doppelt). Die einfache Nullstelle liefert $e^{t}$. Bei einer doppelten Nullstelle $\lambda$ braucht man zwei Basislösungen: $e^{\lambda t}$ und $t e^{\lambda t}$. Hier also $e^{-t}$ und $t e^{-t}$. Die allgemeine Lösung lautet $y(t) = c_1 e^{t} + (c_2 + c_3 t)e^{-t}$

Die beiden Funktionen $e^{-t}$ und $t e^{-t}$ sind linear unabhängig; ohne den Faktor $t$ hätten wir nur eine Basislösung für eine doppelte Nullstelle und der Lösungsraum wäre zu klein.

Fazit#

Homogene lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten reduzieren sich auf das Finden der Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Einfache reelle Nullstellen geben Exponentialfunktionen, komplexe Paare geben gedämpfte oder reine Schwingungen, und Mehrfachnullstellen brauchen zusätzliche Faktoren $t, t^2, \dots$

Weitere Übungen#

1. Löse $u'' + 4u' + 5u = 0$.

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   Das charakteristische Polynom ist $\lambda^2 + 4\lambda + 5 = 0$. Die Diskriminante ist negativ; schreibe die komplexen Nullstellen als $\alpha \pm i\beta$ und gehe zur reellen Form über.
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   Das charakteristische Polynom lautet $$\lambda^2 + 4\lambda + 5 = 0$$

   Die Diskriminante ist $16 - 20 = -4$, also $\lambda = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$

   Mit $\alpha = -2$ und $\beta = 1$ erhalten wir die allgemeine reelle Lösung $u(t) = e^{-2t}(A\cos t + B\sin t)$

2. Löse $u^{(4)} + 2u'' + u = 0$ (Michaels 24.1.5).

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   Das charakteristische Polynom faktorisiert als $(\lambda^2 + 1)^2$. Die Nullstellen $\pm i$ sind jeweils doppelt; kombiniere den komplexen Fall mit dem Mehrfachnullstellen-Faktor $t$.
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   Das charakteristische Polynom ist $$\lambda^4 + 2\lambda^2 + 1 = (\lambda^2 + 1)^2 = 0$$

   Also $\lambda^2 + 1 = 0$, das heisst $\lambda = \pm i$, jeweils mit Vielfachheit zwei. Die einfachen komplexen Nullstellen $\pm i$ würden $A\cos t + B\sin t$ liefern. Wegen der doppelten Vielfachheit multiplizieren wir mit dem Faktor $(c_1 + c_2 t)$ bzw. $(c_3 + c_4 t)$: $u(t) = (c_1 + c_2 t)\cos t + (c_3 + c_4 t)\sin t$