Was ist eine Differentialgleichung?

Bisher war die Unbekannte meist eine Zahl oder eine Folge. Bei Differentialgleichungen suchen wir nach einer ganzen Funktion, und die Gleichung verknüpft diese Funktion mit ihren Ableitungen. Die Physik liefert die Intuition, die Analysis die Sprache.

Der Begriff der Differentialgleichung#

Intuition#

Stell dir vor, du läufst mit konstanter Geschwindigkeit $v$. Deine Position $s$ erfüllt dann $\dot s = v$. Integrieren (oder Raten und Nachprüfen) liefert die Lösung $s(t) = vt + s_0$ wobei $s_0 = s(0)$ die Anfangsbedingung ist. Die Gleichung allein bestimmt die Bahn nicht vollständig; erst die Startposition fixiert eine konkrete Lösung.

Ein zweites Beispiel ist die Feder. Nach Newton gilt Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Die Rückstellkraft der Feder ist proportional zur Auslenkung, also $m\ddot s = -k s$. Gesucht ist eine Funktion $s(t)$, deren zweite Ableitung proportional zu $-s$ ist. Genau das ist eine Differentialgleichung: eine Beziehung zwischen einer unbekannten Funktion und ihren Ableitungen.

Definition#

Beispiel#

Betrachte die Gleichung des harmonischen Oszillators (nach Division durch die Masse, mit $k/m = 1$): $\ddot s + s = 0$ Welche Funktion ergibt zweimal abgeleitet sich selbst mal $-1$? Sowohl $\sin t$ als auch $\cos t$ erfüllen das: $\frac{d^2}{dt^2}\sin t = -\sin t, \qquad \frac{d^2}{dt^2}\cos t = -\cos t$ Wegen der Linearität und der Homogenität ist auch jede Linearkombination eine Lösung: $s(t) = A\cos t + B\sin t$ für beliebige Konstanten $A, B \in \mathbb{R}$.

Gegenbeispiel#

Die Gleichung $\ddot s + s^2 = 0$ sieht ähnlich aus, ist aber nicht linear: die Unbekannte steht quadriert. Der Lösungsraum ist dann kein Vektorraum mehr, und der systematische $e^{\lambda t}$-Ansatz dieser Woche greift nicht. Linearität ist die Voraussetzung, die uns die lineare Algebra in die Hand gibt.

Die Kernaussage#

Das beantwortet die Frage "Sind $\sin$ und $\cos$ wirklich alle Lösungen von $\ddot s + s = 0$?": Ja, bis auf Linearkombination. Es reicht, $n$ unabhängige Basislösungen zu finden; der Rest ergibt sich aus der linearen Algebra.

Übungen#

1. Bestimme Ordnung, Linearität und Homogenität der folgenden Gleichungen:

   • (a) $u'' - 3u' + 2u = 0$
   • (b) $u''' + u = e^{t}$
   • (c) $(u')^2 + u = 0$
   • (d) $t u'' + u' = 0$

2. Verifiziere durch Einsetzen, dass $s(t) = A\cos t + B\sin t$ die Gleichung $\ddot s + s = 0$ für alle $A, B \in \mathbb{R}$ löst.

3. Warum braucht man bei einer homogenen linearen DGL zweiter Ordnung genau zwei Anfangsbedingungen, um eine eindeutige Lösung zu fixieren?

   • (a) Weil die zweite Ableitung zwei Integrationskonstanten erzeugt.
   • (b) Weil der Lösungsraum zweidimensional ist und zwei Bedingungen die beiden freien Konstanten bestimmen.
   • (c) Weil $\sin$ und $\cos$ jeweils eine Bedingung brauchen.
   • (d) Weil die Ordnung immer gleich der Anzahl der Anfangsbedingungen sein muss, auch bei nichtlinearen Gleichungen.