Funktionenfolgen: punktweise und gleichmässige Konvergenz

Bei Zahlenfolgen ist klar, was Konvergenz bedeutet. Bei Funktionenfolgen gibt es zwei sehr unterschiedliche Begriffe: punktweise und gleichmässig. Der Unterschied entscheidet, ob Eigenschaften wie Stetigkeit den Grenzübergang überleben.

Punktweise Konvergenz#

Intuition#

Halte einen Punkt $x$ fest und betrachte die Zahlenfolge $f_1(x), f_2(x), f_3(x), \dots$. Konvergiert diese Zahlenfolge, so erhältst du einen Grenzwert an genau diesem Punkt. Machst du das für jeden Punkt des Definitionsbereichs, entsteht eine Grenzfunktion $f$. Das ist punktweise Konvergenz: du baust die Grenzfunktion Punkt für Punkt zusammen.

Definition#

Beispiel#

Sei $f_n(x) = x^n$ auf $[0, 1]$. Für festes $x \in [0, 1)$ gilt $x^n \to 0$. Bei $x = 1$ gilt $1^n = 1$ für alle $n$. Die Grenzfunktion ist also $f(x) = 0$ für $0 \leq x < 1$ und $f(1) = 1$. Jedes $f_n$ ist stetig, die Grenzfunktion $f$ hat aber einen Sprung bei $x = 1$. Punktweise Konvergenz bewahrt Stetigkeit nicht.

Explizit ist die Grenzfunktion also $f(x) = \begin{cases} 0 & x \in [0,1) \\ 1 & x = 1 \end{cases}$.

Gegenbeispiel zur Erhaltung der Stetigkeit#

Das Beispiel $x^n$ ist bereits das Gegenbeispiel: punktweiser Limes stetiger Funktionen muss nicht stetig sein. Die Voraussetzungen fehlen, weil die Konvergenz in der Nähe von $x = 1$ immer langsamer wird.

Gleichmässige Konvergenz#

Intuition#

Stell dir einen Schlauch der Breite $\varepsilon$ um die Grenzfunktion $f$ vor. Bei gleichmässiger Konvergenz gibt es ein $N$, ab dem die gesamte Funktion $f_n$ in diesem Schlauch liegt. Kein einzelner Punkt darf ausscheren. Der Index $N$ hängt nur von $\varepsilon$ ab, nicht vom Ort $x$.

Definition#

Das praktische Rechenkriterium arbeitet mit der grössten Abweichung, der Supremumsnorm:

Satz#

Beispiel#

Zurück zu $f_n(x) = x^n$ auf $[0, 1]$ mit Grenzfunktion $f(x) = 0$ für $x < 1$ und $f(1) = 1$. Auf dem halboffenen Intervall $[0, 1)$ gilt $f \equiv 0$, aber $\sup\limits_{x \in [0, 1)} |x^n - 0| = \sup\limits_{x \in [0, 1)} x^n = 1 \not\to 0.$ Die Konvergenz ist also nicht gleichmässig. Das erklärt, warum der Limes unstetig sein darf: Satz 2.3 greift nicht.

Gegenbeispiel: punktweise gegen $0$, aber nicht gleichmässig#

Sei $f_n = n\,\chi_{(0,\,1/n)}$, also $f_n(x) = n$ für $x \in (0, 1/n)$ und $f_n(x) = 0$ sonst. Für festes $x > 0$ gilt ab $n > 1/x$ bereits $x \notin (0, 1/n)$, also $f_n(x) = 0$. Bei $x = 0$ ist $f_n(0) = 0$ für alle $n$. Punktweise gilt $f_n \to 0$. Die Supremumsnorm ist aber $\sup\limits_{x} |f_n(x)| = n \not\to 0.$ Die Spitze wird immer höher und schmaler. Punktweise Konvergenz ohne gleichmässige Kontrolle.

Weiteres Beispiel#

Sei $f_n(x) = (1 - x^2)x^n$ auf $[-1, 1]$. Für $|x| < 1$ gilt $x^n \to 0$, also $f_n(x) \to 0$. An den Rändern $x = \pm 1$ gilt $f_n(\pm 1) = 0$. Die Grenzfunktion ist $f \equiv 0$.

Supremumsnorm berechnen

Auf $[0, 1]$ maximieren wir $g_n(x) = (1 - x^2)x^n$. Ableiten ergibt $$g_n'(x) = x^{n-1}\bigl(n - (n + 2)x^2\bigr).$$ Der kritische Punkt im Inneren ist $x_n = \sqrt{\frac{n}{n + 2}}$. Einsetzen liefert $$g_n(x_n) = \frac{2}{n + 2}\left(\frac{n}{n + 2}\right)^{n/2}.$$ Dieser Ausdruck strebt für $n \to \infty$ gegen $0$. Wegen der Symmetrie gilt dasselbe auf $[-1, 0]$. Also $$\lim\limits_{n \to \infty} \sup\limits_{x \in [-1, 1]} |f_n(x)| = 0,$$ und die Folge konvergiert gleichmässig gegen $0$.

Kernaussage#

Punktweise Konvergenz fragt nur lokal an jedem Punkt. Gleichmässige Konvergenz verlangt eine globale Kontrolle über alle Punkte gleichzeitig. Nur die gleichmässige Variante garantiert, dass Stetigkeit den Grenzübergang überlebt.

Übungen#

1. Sei $f_n(x) = x^n$ auf $[0, 1]$. Welche Aussage ist korrekt?

   • (a) Die Folge konvergiert gleichmässig gegen die Nullfunktion.
   • (b) Die Folge konvergiert punktweise gegen eine stetige Grenzfunktion.
   • (c) Die Folge konvergiert punktweise, aber nicht gleichmässig, und die Grenzfunktion ist unstetig.
   • (d) Die Folge divergiert an jedem Punkt $x \in (0, 1)$.

2. Wann konvergiert $f_n$ gleichmässig gegen $f$ auf $D$?

   • (a) Genau dann, wenn $\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ für jedes $x \in D$.
   • (b) Genau dann, wenn $\lim\limits_{n \to \infty} \sup\limits_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0$.
   • (c) Genau dann, wenn jedes $f_n$ stetig ist.
   • (d) Genau dann, wenn $f$ beschränkt ist.

3. Die Folge $f_n = n\,\chi_{(0,\,1/n)}$ konvergiert punktweise gegen $0$. Warum nicht gleichmässig?

   • (a) Weil $\sup |f_n| = n$ nicht gegen $0$ strebt.
   • (b) Weil $f_n$ unstetig ist.
   • (c) Weil der Träger von $f_n$ immer grösser wird.
   • (d) Weil die Folge bei $x = 0$ divergiert.