Konvergenzradius

Eine Taylorreihe kann eine Funktion lokal hervorragend approximieren und trotzdem weit weg vom Entwicklungspunkt komplett versagen. Der Konvergenzradius sagt dir, bis zu welchem Abstand vom Zentrum die Reihe überhaupt noch konvergiert. Zwei Pathologien zeigen, dass Glattheit und Analytizität nicht dasselbe sind.

Der Konvergenzradius#

Intuition#

Stell dir vor, du entwickelst eine Funktion in eine Potenzreihe um $0$. Für kleine $|x|$ trifft die Reihe die Funktion oft treffsicher. Ab einem gewissen Abstand bricht die Konvergenz ab: die Partialsummen schwanken und folgen der Funktion nicht mehr. Dieser kritische Abstand ist der Konvergenzradius $R$. Innerhalb des Intervalls $(-R, R)$ konvergiert die Reihe, ausserhalb divergiert sie. Auf dem Rand $|x| = R$ muss man Fall für Fall prüfen.

Definition#

Praktisch berechnet man $R$ oft über den Quotienten aufeinanderfolgender Koeffizienten:

Beispiel#

Die geometrische Reihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n$ hat Koeffizienten $a_n = 1$. Der Quotient liefert $R = \lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.$ Für $|x| < 1$ konvergiert sie gegen $\frac{1}{1 - x}$, für $|x| > 1$ divergiert sie. Das passt exakt zur bekannten Formel.

Pathologie 1: glatt auf $\mathbb{R}$, aber $R = 1$#

Betrachte $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$. Diese Funktion ist auf ganz $\mathbb{R}$ unendlich oft differenzierbar: kein Pol, kein Knick, nichts Dramatisches auf der reellen Achse. Ihre Taylorreihe um $0$ kennen wir bereits: $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}.$

Die nichtverschwindenden Koeffizienten erfüllen $|a_{2n}/a_{2n+2}| = 1$, also $R = 1$. Für $|x| > 1$ divergiert die Reihe, obwohl $f$ dort völlig harmlos bleibt. Die Erklärung liegt in der komplexen Ebene: $f$ hat Pole bei $\pm i$, und der Abstand von $0$ zu diesen Polen ist genau $1$. Der Konvergenzradius wird von den nächsten Singularitäten in $\mathbb{C}$ begrenzt, auch wenn du nur reell rechnest.

Pathologie 2: $R = \infty$, aber die Reihe trifft $f$ nicht#

Sei $f(x) = e^{-1/x^2}$ für $x \neq 0$ und $f(0) = 0$. Das ist die klassische Bump-Funktion. Man kann zeigen, dass alle Ableitungen bei $0$ verschwinden: $f^{(n)}(0) = 0$ für jedes $n$. Die Taylorreihe um $0$ ist daher die Nullreihe $T(x) \equiv 0,$ mit Konvergenzradius $R = \infty$. Die Reihe konvergiert überall, aber nur bei $x = 0$ gilt $T(x) = f(x)$. Für $x \neq 0$ ist $f(x) > 0$. Glatt zu sein (unendlich oft differenzierbar) bedeutet also nicht, analytisch zu sein (durch die eigene Taylorreihe darstellbar).

Kernaussage#

Der Konvergenzradius misst, wo die Potenzreihe als Zahlenreihe konvergiert. Ob sie gegen die ursprüngliche Funktion konvergiert, ist eine separate Frage. Beide Pathologien trennen diese beiden Aspekte klar voneinander.

Übungen#

1. Sei $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ mit $a_n = \frac{n!}{2^n}$. Bestimme den Konvergenzradius über den Koeffizientenquotienten.

   • (a) $R = 0$
   • (b) $R = 2$
   • (c) $R = \infty$
   • (d) $R = 1/2$

2. Die Taylorreihe von $\frac{1}{1 + x^2}$ lautet $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$. Leite diese Reihe gliedweise ab. Welcher Ausdruck entsteht, und wie erkennst du darin eine geometrische Reihe mit $q = -x^2$?

   • (a) Man erhält $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n 2n\, x^{2n-1}$, und mit $q = -x^2$ gilt $\sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1 - q}$ für $|q| < 1$.
   • (b) Die Ableitung ist wieder $\frac{1}{1 + x^2}$, also ändert sich nichts.
   • (c) Gliedweises Ableiten ist nur für $|x| > 1$ erlaubt.
   • (d) Es entsteht die Cosinus-Reihe.

3. Welche Aussage trifft auf die Bump-Funktion $f(x) = e^{-1/x^2}$ (mit $f(0) = 0$) zu?

   • (a) Sie ist bei $0$ nicht differenzierbar.
   • (b) Ihre Taylorreihe um $0$ hat Konvergenzradius $R = 0$.
   • (c) Alle Ableitungen bei $0$ verschwinden, die Taylorreihe ist $\equiv 0$, trifft $f$ aber nur bei $x = 0$.
   • (d) Sie ist analytisch auf ganz $\mathbb{R}$.