Taylorreihen aufbauen

Die Taylorreihe einer Funktion ist die beste polynomiale Näherung an einem Entwicklungspunkt. Schon die Tangente $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ ist genau die Taylor-Näherung erster Ordnung: du hebst den y-Achsenabschnitt und legst die richtige Steigung an. In der Praxis leitet man selten stur ab, sondern setzt bekannte Reihen durch Substitution und Algebra zusammen.

Problemstellung#

Bestimme die Taylorreihe von $\frac{1}{1 + x^2}$ um $x = 0$ bis zur Ordnung 6.

Lösungsansatz#

Die folgenden Bausteine solltest du mit den ersten Termen explizit parat haben. Die kompakte Summenschreibweise hilft beim Rechnen oft wenig:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \qquad (|x| < 1)$

$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^3 + \dots$

$\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \dots$

Der übliche Trick: auf die Form $\frac{1}{1 - u}$ oder $(1 + u)^\alpha$ bringen, indem du einen Faktor ausklammerst, und dann substituieren.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Unser Ausdruck sieht schon fast wie die geometrische Reihe aus. Wir setzen $u = -x^2$ und nutzen $\frac{1}{1 - u} = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots$ für $|u| < 1$, also für $|x| < 1$: $\frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = 1 + (-x^2) + (-x^2)^2 + (-x^2)^3 + \dots$

Ausrechnen der Potenzen liefert bis Ordnung 6: $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots$

Ohne eine einzige Ableitung zu berechnen.

Zur Illustration der Tangente als Taylor-Näherung erster Ordnung: Sei $f(x) = -x(x + 1)(x - 1) = -x^3 + x$. Bei $x = 2$ gilt $f(2) = -6$ und $f'(x) = -3x^2 + 1$, also $f'(2) = -11$. Die Tangente $y = -6 - 11(x - 2)$ schmiegt sich knickfrei an den Graphen an.

Fazit#

Substitution in eine bekannte Reihe schlägt das wiederholte Ableiten. Schreib die ersten Terme explizit hin, bringe den Ausdruck auf eine Standardform und ersetze die Variable.

Weitere Übungen#

1. Bestimme die Taylorreihe von $\frac{1}{2 + x}$ um $x = 0$.

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   Klammere den Faktor $2$ aus dem Nenner aus und bringe den Ausdruck auf die Form $\frac{1}{1 - u}$.
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   Wir klammern $2$ aus: $$\frac{1}{2 + x} = \frac{1}{2\left(1 + \frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \left(-\frac{x}{2}\right)}$$

   Mit der geometrischen Reihe für $\left|\frac{x}{2}\right| < 1$ folgt: $\frac{1}{2 + x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{8} + \dots\right)$

2. Bestimme die Taylorreihe von $\frac{x^2}{3 + x}$ um $x = 0$ bis zur Ordnung 4.

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   Klammere $3$ im Nenner aus und multipliziere anschliessend mit dem Zähler $x^2$. Behalte nur Terme bis Grad 4.
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   Wir schreiben $$\frac{x^2}{3 + x} = \frac{x^2}{3\left(1 + \frac{x}{3}\right)} = \frac{x^2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \left(-\frac{x}{3}\right)}$$

   Die geometrische Reihe liefert $\frac{x^2}{3}\left(1 - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} - \dots\right) = \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{9} + \frac{x^4}{27} - \dots$

3. Bestimme die Taylorreihe von $x\cos x$ um $x = 0$ bis zur Ordnung 2.

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   Setze die bekannte Cosinus-Reihe ein und multipliziere mit $x$. Welche Terme überleben bis Ordnung 2?
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   Mit $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ folgt $$x\cos x = x\left(1 - \frac{x^2}{2} + \dots\right) = x - \frac{x^3}{2} + \dots$$

   Bis zur Ordnung 2 bleibt nur der Term $x$, denn $-\frac{x^3}{2}$ hat bereits Grad 3.

4. Bestimme die Taylorreihe von $e^x\sin x$ um $x = 0$ bis zur Ordnung 3.

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   Multipliziere die Reihen von $e^x$ und $\sin x$ termweise und sammle alle Beiträge bis Grad 3.
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   Wir brauchen $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots, \qquad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$$

   Das Produkt bis Ordnung 3: $\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right)\left(x - \frac{x^3}{6}\right) = x + x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + \dots$

   Zusammenfassen der $x^3$-Terme: $e^x\sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \dots$